O conjunto de Cantor e a função de Cantor - Lebesgue

The Cantor set and the Cantor-Lebesgue function

Abstract

O presente trabalho destina-se ao estudo da construção do conjunto de Cantor, construído pelo matemático alemão Georg Cantor (1845 - 1918), donde o seu nome, e da função de Cantor-Lebesgue, devida a Georg Cantor e ao matemático francês Henri Lebesgue (1875 - 1941), daí também o seu nome, bem como algumas de suas consequências imediatas e mais complexas. Tido como interessante e curioso, o conjunto de Cantor surge a partir da supressão de maneira específica de algumas partes do intervalo [0,1], a saber, retira-se o terço médio do intervalo [0,1], em seguida o terço médio de cada um dos intervalos restantes é retirado, e assim sucessivamente. Como resultado da construção do conjunto de Cantor prova-se que nem todo conjunto que tem medida (de Lebesgue) nula é enumerável. Já a função de Cantor-Lebesgue também traz diversas propriedades peculiares e será definida como o limite de uma sequência de funções. Ela, juntamente com o conjunto de Cantor, mostra que nem todo conjunto mensurável é de Borel. Tais conceitos utilizados nestas construções podem ser generalizados, a fim de obter outros contra-exemplos a questionamentos que surgem no estudo da análise matemática.